[수학 이야기]꿀타래, 페이스트리, 수타면이 이 정도라고? 일상을 바꾸는 거듭제곱의 위력과 마법!

 

안녕하세요. 슬기토끼입니다.

어떤 수를 여러 번 곱하면 어떻게 될까요? 예를 들어 3이라는 숫자를 2번 곱하면 3×3=9가 됩니다. 이렇게 ‘같은 수를 여러 번 곱하는 것’을 우리는 ‘거듭제곱’이라고 부릅니다. 거듭제곱은 수학에서 가장 기본적이면서도 강력한 개념 중 하나인데 우리는 이런 ‘폭발적인 증가’를 곳곳에서 만날 수 있습니다. 페이스트리의 바삭바삭한 층이나, 인사동의 꿀타래, 그리고 소문이 퍼지는 속도까지 전부 거듭제곱과 관련이 있답니다. 오늘은 거듭제곱이라는 개념이 얼마나 흥미롭고 우리 일상 곳곳에서 발견되는지 알아보려고 합니다. 아이들이 어렵게 느껴지지 않도록 쉽게 풀어볼 테니, 함께 즐겨 주세요!

 

 

 

1. 거듭제곱이 뭐길래 이렇게 중요한 걸까?

거듭제곱은 사실 ‘계속 곱하기’라는 단순한 아이디어에서 출발합니다. 예를 들어 ‘2를 3번 곱하면 2×2×2, 2를 4번 곱하면 2×2×2×2’ 같은 식이죠. 그런데 이 단순한 아이디어가 커지면 커질수록 숫자의 크기는 상상 이상으로 빠르게 증가합니다. 

숫자를 여러 번 곱할 때마다 곱셈 기호가 늘어나면 번거롭기 때문에, 이렇게 지수 표기법을 쓰면 훨씬 깔끔하게 표현할 수 있습니다.‘밑(Base)’인 2를, ‘지수(Exponent)’인 3만큼 세번 곱한다는 뜻이죠.

2. 역사 속 거듭제곱의 단서들

옛날 사람들도 건축, 천문 관측 등을 위해 숫자를 다루다 보니 자연스럽게 거듭제곱을 이해하게 되었습니다. 피라미드 같은 거대한 건축물도 높이를 계산하거나 쌓아 올리는 과정을 기록하면서 커다란 수를 다뤄야 했으니, 이런 개념이 자리 잡을 수밖에 없었겠죠. ‘똑같은 수를 반복해서 곱하면 엄청난 결과가 나온다’는 사실에 주목했다는 걸 알 수 있습니다. 또 중세를 거치면서는 수학자들이 ‘로그(log)’라는, 거듭제곱의 역연산도 발견해 계산 시간을 단축했습니다.

 

 

3. 재미있는 거듭제곱 이야기

이런 이야기로 체스판에 놓인 쌀알 이야기가 유명합니다. 한 페르시아 왕에게 신하 하나가 멋진 체스판을 선물했습니다. 체스판이 마음에 들어 기분이 좋았던 왕은 신하에게 소원 한 가지를 들어준다고 하죠. 마지못한 척 신하는 대답합니다. 체스판의 첫 번째 칸에 쌀 1알, 두 번째 칸에는 2알, 세 번째 칸에는 쌀 4알 이렇게 칸마다 두 배씩 늘어난 쌀알을 갖는다고 말이죠. 왕은 신하의 소박해 보이는 대답에 감동을 받았습니다. 그러나 얼마 후 놀라 자빠지고(?) 말죠.

 

1 번째 칸은 쌀 1개
2 번째 칸은 쌀 2개
3 번째 칸은 쌀 4개
4 번째 칸은 쌀 6개
5 번째 칸은 쌀 12개
...
11 번째 칸은 쌀 1024개
21 번째 칸은 쌀 1,048,576개
...
31 번째 칸은 쌀 2,147,483,648개
41 번째 칸은 쌀 2,199,023,255,552개
51 번째 칸은 쌀 2,251,799,813,684,248개

 

마지막인 
64번째 칸은 쌀 9223,372,036,854,775,808개(922경~)가 필요했던 거죠.

쌀을 두 배씩 늘려 체스판을 다 채운다면 전 지구상의 모든 쌀을 모아도 불가능할 어마어마한 양이었던 겁니다.

체스칸은 총 64칸이다. 쌀 1개를 칸마다 두배씩 늘린다면 이 체스칸의 마지막 칸에 넣는 쌀은 9223,372,036,854,775,808개가 필요하다.

 

 

4. 일상 속에서 만나는 거듭제곱의 마법

거듭제곱은 책 속에서만 존재하는 게 아니라 우리 주변에서도 자주 찾아볼 수 있어요. 주변에서 흔히 먹는 먹거리에서부터, 전 세계에 소문을 퍼뜨리는 ‘바이럴’ 현상까지 다양하게 숨어 있답니다.

  ▷ 꿀타래 이야기

혹시 인사동이나 전통시장 같은 곳에서 ‘꿀타래’를 만들어 파는 모습을 본 적이 있나요? 단단한 엿 덩어리는 처음에는 동그란 도넛모양에서 출발해요. 이것을 손으로 잡아당기고 접고를 조금만 반복하면, 어느 순간 눈앞에 얇은 실 같은 엿 가닥이 수만 가닥이 되어 버립니다. 보고 있는 사람들의 탄성이 와 하고 나오는 순간이죠. (요즘은 마이쭈나 새콤달콤을 이용해 꿀타래를 만들기도 한다고 하네요. 관련 자료를 찾아보시고 집에서 한번 해보시는 것도 좋을 듯합니다.)

 

새콤달콤을 이용해 꿀타래를 만드는 개그우먼 김민경(출처: 유튜브 민경장군)

 

 

  ▷ 바삭바삭 페이스트리 빵의 비밀

페이스트리 빵을 떠올려 보면 겹겹이 층이 쌓인 결을 상상할 수 있어요. 바삭하고 부드러운 식감을 자랑하는데, 이것도 거듭제곱과 관련이 있습니다. 빵 반죽을 얇게 펴서 그 위에 버터를 얹고 여러 번 접고 펴는 과정을 거치면 한 번 접을 때마다 층이 2배씩 늘어나며 불과 몇 번만에 빵반죽과 버터가 수천 겹이 쌓인 맛있는 빵이 되는 것이죠. 이렇게 2의 거듭제곱이 만들어 내는 ‘겹’ 덕분에 페이스트리가 공기층을 품으면서 입 안에서 부드럽게 부서질 수 있답니다.

거듭제곱의 원리가 이용된 맛있는 페이스트리 빵(출처: 나무위키)

 

 

  ▷ 수타면도 거듭제곱?

중식당에서 직접 손으로 면을 뽑는 수타면 장면을 보면  반죽이 늘어날 때마다 면발이 2줄, 4줄, 8줄… 이렇게 빠르게 늘어나는 걸 확인할 수 있어요. 한 번 접고 비틀면 줄이 두 배, 다시 접으면 네 배, 이런 식으로 기하급수적으로 면이 가늘고 많아집니다. 거듭제곱이 수타면 속에 녹아 있는 셈이죠. 잘 만들어진 수타면은 면발이 굉장히 부드러우면서도 쫄깃한 식감을 선사한답니다. 
[사진 예시: 수타면을 뽑는 과정]

 

 

  ▷ ‘5분 안에 2명에게 소문내기’의 전파 속도

가끔 친구들이랑 농담 반 진담 반으로 ‘누군가 비밀을 친구들에게 알려주면 얼마나 빨리 퍼질까?’ 얘기하지 않나요? 5분 동안 2명에게만 말하고, 그 2명도 5분 뒤 각각 2명에게 말해 준다고 상상해 보세요. 이렇게 정보 전달이 거듭제곱으로 늘어나게 되면 세계의 전인구가 그 소문을 아는데 얼마나 걸릴까요? 3시간 반도 안되어 그 소문을 전 세계 인구(81억 명)가 모두 알게 된 답니다. 엄청나지 않나요? 이러한 방법으로 SNS나 메신저 홍보가 이루어지는 거겠죠?

 

 

5. 마무리하며

수학이라는 것이 ‘복잡한 문제를 푸는 어렵고 딱딱한 것’으로만 여겨질 때가 많지만, 사실 그 뿌리를 살펴보면 우리 생활 전반에 스며 있는 개념이라는 걸 알 수 있습니다. 그중에서도 거듭제곱은 우리가 사랑하는 달콤한 간식 꿀타래, 맛있는 면, 바삭한 빵, 그리고 신나는 소문 퍼뜨리기까지 곳곳에 적용되어 있어요.
만약 거듭제곱을 처음 배우는 아이가 있다면, 직접 실험해 보고, 간단한 모형을 만들어 보는 것도 좋은 방법입니다. 인사동 꿀타래처럼 실제로 손으로 접고 늘려 보는 체험을 할 수 있다면 더욱 즐겁겠죠. 
이 글을 통해 거듭제곱이 얼마나 흥미롭고 강력한 도구인지 조금이라도 전해졌으면 좋겠습니다. 앞으로도 수학 속에 숨어 있는 재미있는 이야기들을 차근차근 살펴보시길 바라요. 어렵기만 하다고 느꼈던 수학이, 사실은 이렇게 우리 주변에서 ‘마법’처럼 쓰이고 있다는 사실을 알게 되면 분명히 수학을 바라보는 눈이 달라질 거라고 확신합니다.

 

 

 

 

 

함께 읽으면 좋은 글

 

[초등 수학] 3.14. 파이(π)! 끝없이 이어지는 경이로운 수

[초등 수학] 3.14. 파이(π)! 끝없이 이어지는 경이로운 수

 

 

 

 

[수학 이야기 ] 맨홀 뚜껑은 왜 둥근 모양일까요?(원에 대하여)

[수학 이야기]맨홀뚜껑은 왜 둥근 모양일까요?(원에 대하여)

 

 

 

 

[수학 이야기]죽음으로 알려지게 된 수, 그 이름{루트2(√2)에 대하여}

[수학 이야기]죽음으로 알려지게 된 수 , 그 이름은? (루트2(√2)에 대하여)

 

 

 

 

[초등 수학]삼국시대에도 구구단을 공부했다구요?

[초등 수학]삼국시대에도 구구단을 공부했다구요?(구구단에 대하여)